Sus padres fueron Alfonso Storni y Paulina Martignoni, quienes junto a sus hermanos mayores, María y Romero, llegaron a la provincia de San Juan desde Lugano, Suiza, en 1880. Fundaron una pequeña empresa familiar, y años después, las botellas de cerveza etiquetadas «Cerveza Los Alpes, de Storni y Cía», comenzaron a circular por toda la región.Alfonsina aprendió a hablar en italiano, y en 1896 regresó a San Juan, de donde son sus primeros recuerdos.
Estoy en San Juan, tengo cuatro años; me veo colorada, redonda, chatilla y fea. Sentada en el umbral de mi casa, muevo los labios como leyendo un libro que tengo en la mano y espío con el rabo del ojo el efecto que causo en el transeúnte. Unos primos me avergüenzan gritándome que tengo el libro al revés y corro a llorar detrás de la puerta.
Su madre la anotó en el jardín de infantes, donde se la recuerda como una chica curiosa y que hacía muchas preguntas, imaginaba mucho y mentía. Su madre tenía dificultades para enseñarle a decir la verdad. Inventaba incendios, robos, crímenes que nunca aparecían en los policiales de los periódicos, metía a su familia en líos y en una oportunidad invitó a sus docentes a pasar las vacaciones a una quinta imaginaria en las periferias de la ciudad.El recuerdo de su padre lo reflejó en el poema A mi padre, el cual se basa en la actitud melancólica del señor que en esa época promediaba los treinta años, y en otro recita:
Que por días enteros, vagabundo y hurañono volvía a la casa, y como un ermitaño
se alimentaba de aves, dormía sobre el suelo
y sólo cuando el Zonda, grandes masas ardientes
de arena y de insectos levanta en los calientes
desiertos sanjuaninos, cantaba bajo el cielo.
Si bien la imagen del padre tiene matices melancólicos, la de la madre refleja tristeza oculta que muestra, a su vez, la marca de la resignación femenina. De ella escribió:se alimentaba de aves, dormía sobre el suelo
y sólo cuando el Zonda, grandes masas ardientes
de arena y de insectos levanta en los calientes
desiertos sanjuaninos, cantaba bajo el cielo.
Dicen que silenciosas las mujeres han sido
De mi casa materna....Ah, bien pudieran ser
A veces, en mi madre apuntaron antojos
de liberarse, pero se le subió a los ojos
una honda amargura, y en la sombra lloró.
Se supone que esta descripción de la madre corresponde a la época que precedió la mudanza a Rosario y a los años posteriores que fueron difíciles. En 1900 nació Hildo Alberto, el último hermano, a quien tuvo que proteger.De mi casa materna....Ah, bien pudieran ser
A veces, en mi madre apuntaron antojos
de liberarse, pero se le subió a los ojos
una honda amargura, y en la sombra lloró.
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